ว่าด้วยเรื่องวงโคจรดาวเคราะห์
จากกรีกถึงนิวตัน
เท่าที่จำได้ที่ได้เรียนตอนเด็กคือ 1) เคปเลอร์ (Kepler) เสนอว่าดาวเคราะห์โคจรเป็นวงรีรอบดวงอาทิตย์ และ 2) นิวตัน (Newton) อธิบายวงโคจรนี้ได้โดยใช้กฏแรงดึงดูดของเขา ซึ่งตอนเรียนก็ไม่ได้มีบทพิสูจน์อะไรในส่วนนี้ให้ดู
ช่วงอาทิตย์ที่ผ่านมานี้อ่านเจอชื่อเคปเลอร์กับนิวตันอีกรอบในหนังสือ “The Master Algorithm” ของ Pedro Domingos กับชื่อของอีกคนคือ บราเฮ (Brahe) ซึ่งคนนี้จำไม่ได้ว่าได้เรียนเรื่องเขาตอนมัธยม แต่ก็เคยฟังมาจาก YouTube โดยเฉพาะจากปาฐกถาของ Terrence Tao เรื่อง “The Cosmic Distance Ladder” เลยไปหาอ่านเพิ่ม ยิ่งอ่านยิ่งเจอของที่ไม่รู้จักแต่สนุกดีเลยมาสรุปไว้หน่อย
งานวิจัยกรีกโบราณ
ตอนเด็กๆ ได้ยินมาว่าความเชื่อของคนโบราณโดยเฉพาะชาวยุโรป คือโลกนั้นแบน และดาวทั้งหลายโคจรรอบโลก แต่จริงๆ แล้วในสมัยกรีกโบราณอริสโตเติลก็ได้พิสูจน์แล้วว่าโลกนั้นเป็นทรงกลม โดยสมัยนั้นชาวกรีซมีความรู้ดาราศาสตร์ระดับหนึ่ง พวกเขารู้ว่าจันทรุปราคาเกิดจากเงาของโลกทอดลงไปบนดวงจันทร์
อริสโตเติลสังเกตว่าไม่ว่าจันทรุปราคาจะเกิดช่วงไหนเงานี้ก็มีลักษณะโค้งเสมอ รูปทรงเรขาคณิตที่ก่อให้เกิดเงาลักษณะนี้ก็คือทรงกลมนั่นเอง
นอกจากนี้อริสโตเติลยังสังเกตอีกว่าหมู่ดาวที่เห็นที่กรีซและที่อียิปต์นั้นต่างกัน ซึ่งเขาตีความว่าเกิดจากการที่เราอยู่บนตำแหน่งที่ต่างกันของเปลือกโลกที่มีความโค้ง นั่นคืออริสโตเติลเชื่อว่าโลกไม่ได้มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ แต่มีขนาดที่จำกัด
อริสโตเติลยังตั้งข้อสังเกตอีกว่าดวงจันทร์ในข้างขึ้น/ข้างแรม ที่ต่างกันน่าจะเกิดจากการที่แสงอาทิตย์ถูกบังโดยส่วนโค้งของมันดังนั้นดวงจันทร์เองก็ต้องเป็นทรงกลมด้วย
นอกจากการใช้ตรรกะในการพิสูจน์รูปทรงของโลกและดวงจันทร์แล้ว ชาวกรีกโบราณยังพยายามวัดขนาดของดาวต่างๆ ด้วย เช่นเอราโตสเธนีส (Eratosthenes) ได้ทำการคำนวณรัศมีของโลกจากการสังเกตการเบี่ยงเบนของเงาที่เกิดจากดวงอาทิตย์ในตอนเที่ยงวันที่เมืองสองเมืองซึ่งเรารู้ระยะห่างระหว่างกัน
อริสตาคัส (Aristarchus) คำนวณระยะห่างระหว่างโลกและดวงจันทร์ (ในเทอมของรัศมีของโลก) จากเวลาในการเกิดจันทรุปราคา (ไม่เกิน 3 ชั่วโมง) และระยะเวลาที่ดวงจันทร์โคจรรอบโลก (28 วัน) นอกจากนี้เขายังพยายามคำนวณขนาดของดวงจันทร์อีกด้วย ควรทราบว่าในยุคนี้ค่าพาย (pi) ที่ใช้นั้นยังไม่ใช่ค่าประมาณที่แม่นนัก การคำนวณที่ใช้ส่วนมากจึงอาศัยอัตราส่วนและตรีโกณมิติ
อริสตาคัสยังอาศัยการสังเกตดวงจันทร์เพื่อประมาณระยะห่างระหว่างโลกและดวงอาทิตย์ด้วย
นอกจากนี้เขายังตั้งข้อสังเกตว่าสุริยุปราคา ซึ่งเกิดจากการที่พระจันทร์บังดวงอาทิตย์นั้น ดวงจันทร์แทบจะบังดวงอาทิตย์ได้พอดีเลย จากขนาดโดยประมาณของดวงจันทร์และระยะห่างโดยประมาณของดวงอาทิตย์ ถึงแม้ว่าขนาดที่เขาประมาณได้จะผิดแต่อริสตาคัสได้ข้อสรุปที่สำคัญมากนั่นคือ
ดวงอาทิตย์ควรจะมีขนาดใหญ่กว่าโลกมาก
ข้อสรุปนี้ถือว่าสำคัญมาก เพราะนำมาสู่แนวความคิดที่ว่าถ้าดวงอาทิตย์ใหญ่กว่าโลกขนาดนั้น มันก็คงไม่โคจรรอบโลก แต่โลกน่าจะโคจรรอบมันแทน
ในสมัยนั้นแนวความคิดนี้ยังไม่ได้รับการยอมรับ แบบจำลองที่คนเชื่อคือ Geocentric model ที่ทุกอย่างโคจรรอบโลก แต่แบบจำลองนี้ทำนายวงโคจรของดาวเคราะห์อื่นได้ไม่ค่อยแม่นยำ
เราต้องรอจน 1,700 ปีต่อมา โคเปอร์นิคัส (Copernicus) จึงนำเอาแนวความคิดของ อริสตาตัสมาเผยแพร่ใหม่ โดยเราเรียกแบบจำลองที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์นี้ว่า Heliocentric model
โคเปอร์นิคัสและวงโคจรของดาวอังคาร
นอกจากดวงอาทิตย์และดวงจันทร์แล้วดาวอังคารก็เป็นดาวเคราะห์อีกอันหนึ่งที่มีคนสนใจมาก นั่นก็เพราะวงโคจรของมันที่ดูแปลก
โคเปอร์นิคัสได้ศึกษาข้อมูลของชาวบาบิโลนโบราณที่ก็ได้บันทึกการโคจรของดาวอังคารเช่นกัน โดยจากบันทึกนี้เรารู้ว่าทุกๆ 780 วันดาวอังคารจะกลับมาอยู่ในกลุ่มดาวเดิม โคเปอร์นิคัสซึ่งเชื่อตาม heliocentric model ว่าทั้งดาวอังคารและโลกเองก็โคจรรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้น 780 วันจึงไม่ใช้เวลาโคจรรอบดวงอาทิตย์ของดาวอังคาร
ปัจจุบันเราเรียกระยะเวลา 780 วันนี้ว่า synodic period ซึ่งต่างจากระยะเวลาในการโคจรรอบดวงอาทิตย์จริงที่เราเรียกว่า sidereal period
โลกซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ใน 1 ปี ดังนั้น sidereal period ของโลกคือ 365 วัน
โคเปอร์นิคัสเชื่อว่าวงโคจรของทั้งโลกและดาวอังคารนั้นเป็นวงกลม synodic period 780 วันนั้นแปลว่าทุกๆ 780 วัน ทั้งโลกและดาวอังคารจะทำมุมเดียวกันนั่นเอง
สมมติให้หลังจาก S วัน ทั้งโลกและดาวอังคารโคจรมาจบในมุม n เท่ากัน โลกโคจร 360 องศาใน E วัน ดังนั้นใน S วันจะโคจรไป S x (360/E) องศา
เรากำหนดให้ตำแหน่งจบนี้คือ 360+n องศา
ดังนั้น 360/E = (360m+n)/S
สมมติให้ดาวอังคารโคจร 360 องศาใน P วัน และวงโคจรมันช้ากว่าโลกคือเราสมมติให้ดาวอังคารมาจบที่ตำแหน่ง n องศา (ช้ากว่าโลก 1 รอบ) ใน S วันเช่นกัน
ดังนั้นเราจะได้ว่า S x (360/P) = n หรือ 360/P = n/S
จากสมการทั้ง 2 ข้างบนเราจะได้ว่า 360/E = 360/S + 360/P
หรืออีกนัยหนึ่งคือ 1/S = 1/E — 1/P
จากสมการนี้เรามี S=780 วัน และ E=365 วัน ดังนั้นเราจะได้ว่า P หรือคาบการหมุนรอบดวงอาทิตย์ของดาวอังคารนั้นประมาณ 687 วัน
นอกจากนี้โคเปอร์นิคัสยังสามารถประมาณระยะห่างจากโลกไปดาวอังคารได้โดยดูจากตำแหน่งของดาวอังคารและตำแหน่งของดวงอาทิตย์ในหมู่ดาวต่างๆ โดยค่าที่ประมาณได้คือ 1.5 A.U. (Astronomical Unit = ระยะห่างระหว่างโลกและดวงอาทิตย์)
บราเฮกับเคปเลอร์
หลังจากนั้นหลายทศวรรษ ทาโก บราเฮ (Tycho Brahe) นักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ได้ทำการบันทึกตำแหน่งของดาวอังคารและดาวต่างๆ อย่างละเอียดเป็นเวลายาวด้วย เกือบ 20 ปีเลย ข้อมูลที่เขาบันทึกนี้ได้ถูกนำมาใช้โดยเคปเลอร์เพื่อศึกษาวงโคจรของดาวอังคาร
ประวัติของคุณบราเฮเองนี่ก็แปลกดีเหมือนกัน
บราเฮเกิดในครอบครัวที่รวยมาก เห็นว่าทรัพย์สินทั้งหมดนั้นเกือบ 1% ของทั้งเดนมาร์กเลยทีเดียว
ปี 1560 บราเฮ ซึ่งอายุ 14 ประทับใจในสุริยุปราคามากเลยตัดสินใจจะเป็นนักดาราศาสตร์ บราเฮได้สร้างเครื่องมือวัดหลายอย่างที่ช่วยให้วัดตำแหน่งดาวต่างๆ ได้แม่นยำมาก
ตอนอายุ 20 บราเฮดวลกับเพื่อนเรื่องสูตรคณิตศาสตร์ (คนแพ้คงแปลว่าคำนวณผิด มั๊ง) และเสียจมูกไป เขาจึงต้องใส่จมูกปลอมหลังจากนั้นมา หาไม่เจอว่าเพื่อนเขาเป็นไงหลังจากนั้น
บราเฮอยู่ในปราสาทพร้อมทาสรับใช้ เท่าที่อ่านๆ ดู เขานิสัยไม่ค่อยดีกับคนของเขาเท่าไร นอกจากนี้ยังเลี้ยงกวางใหญ่ตัวหนึ่งที่ดื่มเบียร์มากจนตกบันไดตาย
ตอนอายุ 54 ระหว่างงานเลี้ยงในวัง เห็นว่าบราเฮดื่มมาก แต่ด้วยมารยาทเลยต้องนั่งรอให้งานจบก่อน เลยตายไม่แน่ใจว่าเพราะกระเพาะปัสสาวะอักเสบหรือเปล่า มีข่าวลือว่าอาจจะเพราะโดนยาพิษก็เป็นได้
บราเฮนั้นเชื่อว่าดวงจันทร์และดวงอาทิตย์นั้นโคจรรอบโลก และดาวเคราะห์ทั้งหลาย (ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส และดาวเสาร์) นั้นโคจรรอบดวงอาทิตย์ เป็นแบบจำลองกึ่งๆ ระหว่าง geocentric model และ heliocentric model
ในตอนบั้นปลายชีวิตบราเฮย้ายไปทำงานที่ปรากโดยมีเคปเลอร์เป็นผู้ช่วย หลังจากบราเฮตาย เคปเลอร์ได้ ขโมย ข้อมูลของบราเฮมาเพื่อใช้ในการคำนวณวงโคจรตาม heliocentric model ที่เขาเชื่อ
ควรทราบว่าข้อมูลที่บราเฮวัดและบันทึกไว้อย่างหวงแหนนั้นมีแค่มุมของดาวอังคารที่เขาสังเกตได้เท่านั้น แต่เขาทำการวัดและบันทึกมุมเหล่านี้ไว้เกือบ 20 ปีเลยทีเดียว คำถามที่น่าสนใจคือเคปเลอร์นั้นสร้างวงโคจรของดาวอังคารจากข้อมูลนี้ได้อย่างไร?
วิธีที่เคปเลอร์ใช้นั้นไอน์สไตน์กล่าวว่าเป็นแนวความคิดของอัจฉริยะเลยทีเดียว
แนวความคิดหลักของเคปเลอร์คือถ้าสมมติว่าเรารู้ตำแหน่งของดาวอังคาร ด้วยมุมต่างๆ ที่เราบันทึกไว้เราก็สามารถวางตำแหน่งของโลกได้
จากงานของโคเปอร์นิคัสเรารู้ว่าทุกๆ 687 วัน ดาวอังคารจะโคจรมาอยู่ตำแหน่งเดิม ดังนั้นถ้าเราดึงข้อมูลห่างกัน 687 วัน เราก็ย่อมสามารถวาดวงโคจรของโลกได้ และเมื่อเราได้วงโคจรของโลกแล้วเราก็สามารถสร้างคืนวงโคจรดาวอังคารจากมุมที่บันทึกได้เช่นกัน
แนวความคิดนี้ใช้ได้เพราะมีคนบ้าพออย่างบราเฮ ที่นั่งบันทึกตำแหน่งเกือบ 20 ปีเลยทีเดียว
เคปเลอร์ใช้เวลา 9 ปีในการวิเคราะห์ข้อมูลและพบกับข้อสรุปที่เขาไม่คิดมาก่อน นั่นคือดาวอังคารและโลกโคจรเป็น วงรี รอบดวงอาทิตย์
ครั้งแรกที่ผมอ่านเจอตอนเด็กๆ นี่คิดว่าวงโคจรนี้มันต้องรีมากๆ แน่ๆ แต่เอาเข้าจริงมันก็ไม่รีมากนัก
พิจารณาสมการวงรีข้างๆ นี้ ค่า ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity หรือ e ในสมการวงรี) และ ระยะกึ่งแกนเอก (semi-major axis หรือ a ในสมการวงรี) ของโลกและดาวอังคารคือ 0.0167, 1 A.U. และ 0.0934, 1.5 A.U. ตามลำดับ ค่าเหล่านี้มาจาก wikipedia ซึ่งเมื่อเราลองวาดวงรีทั้งสองดูจะได้ดังรูปข้างล่างนี้จะเห็นได้ว่ามันเกือบกลมเลย แต่เราสังเกตได้ว่าดวงอาทิตย์ไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์กลางเหมือนวงกลมปกติ
นอกจากนี้เคปเลอร์ยังได้เสนอกฎของการโคจรของดาวเคราะห์อีก 2 ข้อคือ
- ในระหว่างที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์และดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่าๆ กันในเวลาเท่ากัน
- กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์แปรผันตรงกับกำลังสามของระยะกึ่งแกนเอกของวงโคจร
กฎของเคปเลอร์นั้นได้มาจากการวิเคราะห์ข้อมูลแต่ยังขาดคำอธิบายว่า “ทำไม”
ทำไมดาวเคราะห์ทั้งหลายถึงโคจรเป็นวงรีกัน? เราต้องรอจนถึงนิวตันถึงได้คำอธิบายปรากฏการณ์นี้
นิวตัน
หลักการของนิวตันที่ใช้ในการอธิบายวงโคจรนั้นอิงกฎการเคลื่อนที่และกฎของแรงดึงดูดระหว่างมวล อันนี้สงสัยมาตั้งแต่ตอนเรียนแล้วแต่ไม่เคยรู้ว่าพิสูจน์ยังไง เลยไป google ดู เจอส่วนย่อยๆ ค่อยๆ เอามาประกอบกัน (สูตรเยอะหน่อย)
ก่อนอื่นหากเราพิจารณาวงโคจรของดาวเคราะห์นี้อย่างใกล้ชิด สมมติว่าดาวเคราะห์นี้โคจรด้วยความเร็วเชิ่งเส้น v ซึ่งคงที่ในระยะเวลาสั้นๆ นั่นแปลว่าดวงอาทิตย์ต้องทำการดึงดาวเคราะห์นี้เข้าหามันตามแนวรัศมี ดังที่แสดงในรูปประกอบนี้ การดึงนี้ต้องทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงความเร็ว นั่นก็คืออัตราเร่ง a (สีแดงในรูป) มีค่าเป็น a = -v sin(Θ) ซึ่งสามารถประมาณได้โดย -v²/r เมื่อ r เป็นระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์นี้และดวงอาทิตย์
นอกจากนี้หากดาวเคราะห์ถูกดวงอาทิตย์ดูดเข้ามาระยะห่างระหว่างมันและดวงอาทิตย์ก็จะไม่คงที่ การเปลี่ยนแปลงระยะห่างนี้ก็ทำให้เกิดค่าความเร่งตามแนวรัศมีนั่นคือ d²r/dt²
นิวตันเสนอว่าแรงที่กระทำต่อดาวเคราะห์ทั้งหมดในกรณีนี้มาจากแรงดึงดูดระหว่างดาวทั้งสอง ซึ่งตามกฎของแรงดึงดูดของเขาก็คือ F = GMn/r² เมื่อ M เป็นมวลของดวงอาทิตย์ ให้ m เป็นมวลของดาวเคราะห์ที่พิจารณา
จากกฎ F=ma เราจึงได้ว่าความเร่งรวมของดาวเคราะห์นี้คือ GM/r²
เมื่อนำองค์ประกอบทั้งสองมาพิจารณาร่วมกันจะได้ว่า
จากกฎของเคปเลอร์เราได้ว่าพื้นที่ในวงโคจรจะถูกกวาดด้วยอัตราคงที่ นั่นคือ
กำหนดให้ h = r² dθ/dt ค่า h นี้คือ โมเมนตัมเชิงมุม (angular momentum) ของระบบ กฎของเคปเลอร์นั้นแปลว่าในการโคจรของดาวเคราะห์นั้นค่าโมเมนตัมเชิงมุมนั้นมีค่าคงที่ การเคลื่อนที่ที่มีค่าโมเมนตัมเชิงมุมคงที่นั้นเกิดเมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อระบบ ซึ่งแปลว่าในการคำนวนณวงโคจรนี้แรงดึงดูดระหว่างดาวเคราะห์นั้นถือได้ว่าน้อยมากจนไม่ต้องเอามาคิด แรงที่สำคัญมีเพียงแรงดึงดูดระหว่างดาวเคราะห์และดวงอาทิตย์
พิจารณาส่วนกลับของรัศมี u = 1/r เราสามารถจัดรูปใหม่ได้ (แบบฝึกหัด)
หนึ่งในฟังก์ชัน u ที่เป็นได้คือ
โดย A และ θ0 นั้นขึ้นกับเงื่อนไขตั้งต้น เราสามารถจัดรูปฟังก์ชันนี้ใหม่ในเทอมของรัศมีได้เป็นสมการวงรีต่อไปนี้
เมื่อ R = h²/(GM) และ e = Ah²/(GM)
สรุปว่าวงโคจรรูปวงรีนั้นเกิดขึ้นเองเมื่อแรงที่กระทำระหว่างดาวสองดวงนั้นคือแรงดึงดูด แต่ผมเดาเอาว่ามันคงขึ้นกับเงื่อนไขตั้งต้นด้วย ถ้าดาวทั้งสองเริ่มจากหยุดนิ่ง (ซึ่งคงเป็นไปไม่ได้) ดาวทั้งสองคงวิ่งเข้าหากันตรงๆ แต่ถ้าดาวดวงหนึ่งวิ่งผ่านมาโดนอีกดวงหนึ่งดึงเป็นบริวารก็คงเกิดเป็นวงรีตามการคำนวณข้างบนนั่นเอง
ส่งท้าย
ในหนังสือของ Domingos ที่เกี่ยวกับ Machine Learning นั้นเปรียบไว้น่าสนคือ งานของบราเฮนั้นเหมือนการทำพวก Big Data ส่วนงานของเคปเลอร์คือการทำพวก model inference ใน Machine Learning Domingos ตบท้ายว่าเรายังขาดงานแบบของนิวตันที่อธิบายเหตุผลว่าทำไม model ที่ใช้ได้ดีจึงควรเป็นแบบนั้น
เอกสารอ้างอิง
Terrence Tao, “The Cosmic Distance Ladder” ในงาน AMS Einstein Public Lecture in Mathematics
Hieu D. Nguyen, “Rearing Its Ugly Head: The Cosmological Constant and Newton’s Greatest Blunder”, http://www.rowan.edu/open/depts/math/nguyen/newton's%20greatest%20blunder.pdf
Alasdair Wilkins, “The crazy life and crazier death of Tycho Brahe, history’s strangest astronomer” https://io9.gizmodo.com/5696469/the-crazy-life-and-crazier-death-of-tycho-brahe-historys-strangest-astronomer
