จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนที่โลกที่กำลังหมุนรอบดวงอาทิตย์ด้วยกาน้ำชา?

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนที่โลกที่กำลังหมุนรอบดวงอาทิตย์ด้วยกาน้ำชา?
ก) มันจะตกเข้าหาดวงอาทิตย์
ข) มันจะกระเด็นออกไปจากดวงอาทิตย์
ค) มันจะหมุนรอบดวงอาทิตย์ตามวงโคจรเดิมของโลก

จากเรื่องของ gravitational wave ช่วงก่อน ตอนนี้ผมเลยมานั่งฟังนักฟิสิกส์บน youtube ที่พูดให้คนทั่วไปฟัง (ส่วนมากเป็นภาษาฝรั่งเศส) จนไปเจอคำถามนี้เข้า แต่ผมตอบผิดเลยลองไปค้นๆ ดู แถมได้เกร็ดเล็กน้อยเพิ่มอีก ขอจดไว้หน่อยละกัน

แรงดึงดูดระหว่างโลกกับวัตถุต่างๆ ไม่เท่ากัน แต่วัตถุที่ตกอย่างเสรี (free fall) ตกแบบเดียวกัน

อันนี้ลืมไปแล้วว่าทำไมจนต้องไปค้นเพิ่ม

• แรงดึงดูดระหว่างโลกกับวัตถุ x คือ F_ex = G m_e m_x / r^2
  เมื่อ G เป็นค่าคงที่, m_e คือมวลของโลก, m_x คือมวลของ x และ r คือระยะห่างระหว่าง x และโลก
• x ตกอย่างเสรี นั่นคือแรงทั้งหมดที่กระทำต่อ x คือ F_ex
• กฎของนิวตันบอกว่า F = m a ดังนั้นในกรณีนี้ F_ex = m_x a_x ดังนั้นความเร่งของ x ที่เกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโลกกับ x คือ a_x สามารถคำนวณได้จาก a_x = G m_e / r^2 ซึ่งไม่ขึ้นกับมวลของ x หรือ m_x
• ถ้า y ตกอย่างเสรี จากความสูงเดียวกับ x เราก็จะได้ว่า a_y = G m_e / r^2 เช่นกัน
• ดังนั้นถึงแม้ว่าแรงที่โลกกระทำต่อ x กับ y จะไม่เท่ากัน (F_ex != F_ey) x กับ y ก็ยังตกอย่างเสรีแบบเดียวกัน

ถ้าเรายิง x กับ y ขึ้นฟ้า จากตำแหน่งเดียวกัน ในมุมเดียวกัน โดยให้ทั้งคู่ออกไปด้วยความเร็วต้นเดียวกัน เส้นทางของ x และ y ก็จะเหมือนกัน

จริงอยู่ที่ว่าถ้า x และ y มีมวลต่างกันแรงที่ต้องใช้ในการเร่ง x และ y ให้มีความเร็วเท่ากันจะต่างกัน
แต่เมื่อ x และ y หลุดจากแท่นยิงแรงที่กระทำต่อ x และ y ก็จะเหลือแค่แรงโน้มถ่วงของโลก นั่นคือ x และ y ก็จะอยู่ในสถานะ “ตกอย่างเสรี” เหมือนกัน ทั้งที่มันอาจจะถูกยิงขึ้นฟ้าก็ตาม (นิยามตกอย่างเสรี คือการเคลื่อนที่ที่มีแค่แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมัน) ดังนั้น x และ y ก็จะเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางเดียวกัน

แทนที่ “โลก -> ดวงอาทิตย์”, “x -> โลก” และ “y -> กาน้ำชา” ก็จะได้คำตอบ
ตัวอย่างนี้ทำให้เข้าใจ “สนามโน้มถ่วง” มากขึ้น

ไอเดียของไอน์สไตน์คือถ้าสนามโน้มถ่วงนี้ขึ้นกับดวงอาทิตย์และไม่ขึ้นกับวัตถุที่เคลื่อนที่ภายใต้สนามนี้ บางทีเราน่าจะสามารถเขียนอธิบายสนามในแบบเรขาคณิต (geometric) ได้ ไอน์สไตน์พยายามหาวิธีอธิบายนี้ตั้งแต่ปี 1907 ที่ยังทำงานอยู่ที่สำนักงานสิทธิบัตรจนปี 1909 เมื่อได้งานที่ปรากก็ยังทำต่อ จนปี 1912 ไอน์สไตน์พบว่าเราไม่สามารถอธิบายสนามโน้มถ่วงที่โค้ง กาล-อวกาศ (space-time) ด้วยเรขาคณิตแบบยูคลิดได้ จากนั้นไอน์สไตน์ได้ลาออกจากงานที่ปรากและย้ายกลับไปซูริค เพื่อไปทำงานร่วมกับอาจารย์เก่าสมัยที่เรียนที่โพลีเทคนิคที่ซูริคคือ โกรสมาน (Grossmann) ที่เก่งเรื่องเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยูคลิด (non-Euclidean geometry) จนปี 1913 ทั้งคู่ออกบทความ ร่างของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ที่อธิบายความโน้มถ่วงในรูปของ tensor ในงานนี้โกรสมาน เสนอ tensor แบบหนึ่งให้ไอน์สไตน์ ซึ่งไม่ชอบ เลยเสนอ tensor อีกแบบมาในบทความนี้ แต่ต่อมาในการนำทฤษฎีสัมพัทธภาพไปทำนายวงโคจรที่ผิดปกติของดาวพุธ ปรากฏว่า tensor ของโกรสมาน ทำนายได้แม่นกว่า ในบทความปี 1915 ไอน์สไตน์จึงนำมาใช้ในบทความ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ปี 1915 นั่นคือบทความปี 1913 กับ 1915 นั้นใช้ tensor ที่ต่างกัน

ปี 1916 ไอน์สไตน์สังเกตว่า เมื่อเราเร่งอนุภาคที่มีประจุ (charged particle) แล้วเกิดคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ถ้าเราเร่งมวลที่ใหญ่มากๆ มันจะเกิดคลื่นความโน้มถ่วงหรือไม่ ซึ่งไอน์สไตน์ได้ทำการคำนวณ แต่คาดว่าเราจะไม่สามารถตรวจจับได้ นี่คือของที่ LIGO ตรวจได้นั่นเอง