Grothendieck

Alexander Grothendieck (บางทีชื่อก็เขียนเป็น Alexandre ในฝรั่งเศส) ถูกจัดให้เป็นนักคณิตศาสตร์คนสำคัญของศตวรรษที่ 20 ผมเคยได้ยินเรื่องของเขามาบ้างแล้วแต่ยังไม่เข้าใจเนื้อหาสิ่งที่เขาทำ พอดีพึ่งอ่านเจอว่าเขาเสียชีวิตแล้วปลายปี 2014 ช่วงนี้เลยตามอ่าน/ฟัง เรื่องของเขาเพิ่ม

Grothendieck เกิดที่เยอรมันแต่อพยพมาฝรั่งเศส และเข้าศึกษาที่ Montpellier มีเรื่องเล่าว่าในระหว่างที่เรียนนี้เขาเข้าเริ่มสนใจคณิตศาสตร์อย่างจริงจังเพราะอาจารย์ที่สอนไม่สามารถตอบคำถามเขาเกี่ยวกับ “ปริมาตร” ได้ดีพอ นั่นคือเขาได้เรียนวิธีคำนวณปริมาตรรูปทรงต่างๆ แต่คำนิยามของปริมาตรนั้นไม่ชัดเจน ผมเดาว่าบางทีนิยามเหล่านี้อาจจะชัดเจนสำหรับรูปทรงปกติ แต่ไม่สามารถขยายไปยัง concept อื่นทางคณิตศาสตร์ได้ซึ่งทำให้ Grothendieck ยังไม่พอใจ อาจารย์ของเขาบอกว่าคำถามนี้มีคนตอบแล้วคือ Lebesgue แต่งานของ Lebesgue นั้นยากเกินไปที่จะสอนในระดับนั้น คำตอบนี้ทำให้ Grothendieck นั่งศึกษาปัญหานี้จนค้นพบ concept ของ Lebesgue integral ด้วยตัวเอง

ควรทราบว่า Lebesgue integral นั้นอิง concept “การวัดของ Lebesgue” (Lebesgure measure) การวัดนั้นเป็นการขยายความ (generalize) concept ของ “ความยาว”, “พื้นที่”, “ปริมาตร” ให้กับเซตทางคณิตศาสตร์ ผลที่ได้คือเราสามารถนำการวัดนี้ไปใช้คำนวณ integral ของฟังก์ชันได้หลากหลายประเภทกว่า integral แบบของ Riemann ที่เราเรียนกันตอน ม.ปลาย การที่ Grothendieck สามารถค้นพบ concept นี้ได้ด้วยตัวเองนี้แปลว่าเขาเก่งจริงๆ

เกร็ดอีกเรื่องคือ Schwartz ที่เป็น advisor ป.เอก ของ Grothendieck เอาบทความที่เขาพึ่งเขียนกับ Dieudonné ให้ Grothendieck อ่าน ซึ่งตอนท้ายของบทความมีคำถามที่ยังแก้กันไม่ได้ 14 คำถาม ไม่กี่เดือนหลังจากนั้น Grothendieck กลับมาพร้อมคำตอบของคำถามทั้งหมด ควรทราบว่า Schwartz นั้นพึ่งได้เหรียญ Fields มาดังนั้นคำถามที่เขาว่ายังแก้ไม่ได้นั้นไม่ใช่คำถามที่ง่ายอย่างแน่นอน

อีกเกร็ดหนึ่งคือ Grothendieck ไปพบ Dieudonné และเอางานของตัวเองเกี่ยวกับการวัดไปให้ดู ซึ่ง Dieudonné บอกว่านั่นคือ Lebesgue integral ที่มีคนพบแล้ว และ Dieudonné เอาปัญหาทั้ง 14 ข้อให้ไปลองทำดู ซึ่งต่อมา 2–3 สัปดาห์ Grothendieck แก้ไปครึ่งนึง Dieudonné กับ Schwartz เลยรับมาทำ ป.เอก ด้วย โดยในระหว่างนั้น Grothendieck ก็แก้ปัญหาที่เหลือจนหมด

Grothendieck จบ ป.เอก และได้ทำวิจัยต่อทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อีกหลายหัวข้อ (แต่ละหัวข้ออ่านชื่อแล้วนึกไม่ออกเลยว่าเกี่ยวกับอะไร) จนปี 1966 เขาได้เหรียญ Fields และต่อมาปี 1988 ก็ได้รางวัล Crafoord ที่เป็นรางวัลใหญ่ทางคณิตศาสตร์อีกรางวัลที่มาพร้อมเงินรางวัลด้วย (700,000$ ในปี 2015) ซึ่งเขาปฏิเสธทั้งรางวัลทั้งเงินโดยบอกว่าเงินเดือนอาจารย์นั้นพอใช้แล้ว

Grothendieck ต่อต้านสงครามและการทหาร ถึงกับลาออกจาก IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques ศูนย์ศึกษาวิทยาศาสตร์ขั้นสูงของฝรั่งเศส คล้ายๆ กับ Institute for Advanced Study ของอเมริกา) เพราะ IHES รับทุนวิจัยบางส่วนจากการทหาร

ในช่วงปลายของชีวิต Grothendieck หนีไปอยู่บนเขา Pyrennes (ชายแดนฝรั่งเศส-สเปน) และปฏิเสธการติดต่อกับทุกคน จนเสียชีวิตปลายปี 2014 เขาทิ้งงานเขียนไว้หลายพันหน้า ซึ่งตอนนี้น่าจะเริ่มมีการพิจารณานำไปตีพิมพ์แล้ว ตอนเขายังมีชีวิตอยู่เหมือนจะมีงานบางส่วนที่เขาห้ามไม่ให้ตีพิมพ์ มีเพียงฉบับที่เขาพิมพ์แจกเพื่อนเองไม่กี่ฉบับเท่านั้น

งานของ Grothendieck นั้นเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ยากจะสรุปมาให้เข้าใจได้โดยง่าย แต่ที่พอจะเข้าใจได้และน่าสนใจคือสำหรับ Grothendieck แล้วสิ่งที่สำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ไม่ใช่ทฤษฎีและบทพิสูจน์ต่างๆ แต่เป็นมุมมองของนักคณิตศาสตร์ที่มีต่อสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ต่างหาก ถ้าเรามีมุมมองที่ถูกต้องแล้วปัญหาที่เราพิจารณาก็จะสามารถพิสูจน์ได้โดยง่าย [1]

ใน vdo [1] มีคำนำวิชาพวก research methodology ที่เขาสอน ปี 1978–79 (ซึ่งหาดูเพิ่มได้จาก link [2]) ที่น่าสนใจเลยขอจดซักหน่อย

L’ardent curiosité seule est créatrice, elle nous porte droite au coeur même de l’Inconnu. N’est-ce pas Elle notre seul et véritable héritage, déposé en chacun de nous dès avant que nous fussions enfantés?

…

Quand cette soif est absante, quel sens reste-t-il à notre vie?
Quel sens a un travail où il n’y a création, ni amour?
Que reste-t-il donc, quand il ne semble plus y avoir trace de l’enfant en nous qui joue et qui interroge?
Quel est l’avenir d’un monde qui laisse périr son unique héritage?

…

คำแปล (โดยประมาณ)

ความกระหายใคร่รู้เท่านั้นที่สรรค์สร้าง มันพาเราตรงไปยังใจกลางของ “ความไม่รู้” เลยเชียว ไม่ใช่มันหรอกหรือที่เป็นมรดกหนึ่งเดียวและแท้จริง ที่ตกทอดมายังพวกเราแต่ละคนตั้งแต่ยังไม่คลอด

…

เมื่อความกระหายนี้หมดไป ชีวิตเราจะเหลือความหมายอะไรอีก?
จะเอาความหมายอะไรใส่ให้กับงานที่ไม่สร้างสรรค์ ที่เราไม่รัก?
จะเหลืออะไรอีกเมื่อร่องรอยของเด็กน้อยในตัวเราที่เล่นและตั้งคำถามนั้นหายไป?
โลกที่ปล่อยให้มรดกหนึ่งเดียวนี้ตายไปจะมีอนาคตเป็นเช่นไร?

…

สมัยนี้ถ้าเขียนแบบนี้ในเอกสารประกอบการสอนเด็กคงว่าเพี้ยน

ว่างๆ ต้องไปดูเพิ่มว่างานที่เขาทำคืออะไร

เอกสารอ้างอิง

[1] https://www.youtube.com/watch?v=yNgvvNx_P9w

[2] https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/Guise1.jpg

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck

[4] https://www.quora.com/Why-is-Alexander-Grothendieck-revered-by-mathematicians